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14. Modelli matematiciOBIETTIVO:
apprendere lo scopo e le caratteristiche di un "modello"
costruire un semplice modello
Un modello è una rappresentazione che contiene la struttura essenziale di un oggetto o un processo o un evento reale, è "una bugia che aiuta a vedere la verità" (H. E. Skipper).
La rappresentazione può assumere due forme diverse:
Caratteristiche importanti dei modelli sono le seguenti:
Proprio perché si tratta di una rappresentazione, il modello non può includere ogni aspetto della realtà. Prima di creare un modello, è necessario fare alcune assunzioni sulla struttura essenziale e le correlazioni fra gli eventi (o gli oggetti) nel mondo reale.
Per esempio, uno studioso del comportamento potrebbe voler costruire un modello riguardo al tempo necessario a un topo per attraversare un labirinto alla ricerca del cibo. Nella costruzione del modello si potrebbero includere fattori diversi, come ad esempio il tipo di cibo offerto, la preventiva conoscenza del labirinto da parte dell'animale, il tempo trascorso dall'ultimo pasto. Altri fattori, ritenuti poco importanti o ininfluenti ai fini della "struttura essenziale" del fenomeno da studiare (es. il sesso del topo, l'ora del giorno in cui viene eseguito l'esperimento ecc.) potrebbero invece essere esclusi dal modello.
I fattori, noti o ignoti, che non vengono inclusi nel modello (perché non sono presi in considerazione, oppure sono ritenuti poco influenti o secondari) possono ridurre la capacità predittiva del modello stesso, nel caso essi esercitino invece un influsso sul fenomeno in studio.
Il disegnatore di un aliante costruisce fisicamente un modello di una nuova forma delle ali e ne saggia le caratteristiche nella galleria del vento. In base ai risultati ottenuti, la forma viene modificata e il modello viene sottoposto a un nuovo test nella galleria del vento. Si esaminano di nuovo i risultati e si apportano le modifiche ritenute utili, e così via.
La manipolazione dei modelli che vengono costruiti, anziché in forma fisica, in forma simbolica (modelli matematici) è ancora più facile: molto spesso è sufficiente modificare il valore di una variabile o di una costante, o ritoccare un'equazione, oppure modificare i dati di input ecc.
La creazione di un modello inizia con una attenta osservazione del fenomeno in studio e poi, eventualmente, anche sulla sua manipolazione, osservandone gli effetti e anche utilizzando il 
metodo scientifico di falsificazione dell'ipotesi. Tutte le osservazioni vengono interpretate per cogliere gli aspetti più importanti del fenomeno, tralasciando quelli ritenuti marginali. Poi, si costruisce il modello, lo si fa "funzionare" e si controlla se-e-quanto i risultati ottenuti corrispondono con la realtà. Infine, il modello viene riconsiderato e modificato per renderlo ancor più efficiente, e cosí di seguito.
Qual è l'utilità di un modello? La risposta è abbastanza ovvia: la rappresentazione di un processo per mezzo di un modello, pur essendo semplificata rispetto alla realtà, si rivela utile per individuare il funzionamento intimo del processo medesimo. In effetti, l'uso dei modelli ci permette di eliminare (almeno in teoria!) tutte le caratteristiche non significative del fenomeno e concentrarci soltanto sugli aspetti importanti.
Ad esempio, esistono modelli che illustrano le associazioni e le interazioni tra i determinanti di malattia (modelli causali); si veda in proposito quello già illustrato a proposito della causalità delle associazioni.
In epidemiologia i modelli fisici, ossia che riproducono in scala un qualche «oggetto» fisico (es. il modellino di una scuderia o di una stalla) non vengono utilizzati. Ci si avvale invece dei cosiddetti "modelli matematici". Un modello matematico è un modello simbolico costituito da una equazione (o una serie di equazioni) che prende in considerazione i diversi 
parametri che sono sono coinvolti nella genesi e nella evoluzione del fenomeno studiato (in genere: la malattia).
In buona sostanza, un modello matematico può essere considerato alla stregua di un "elaboratore specializzato" di informazioni: l'utilizzatore introduce i dati di input, il modello li «macina» effettuando i calcoli previsti ed, infine, restituisce i dati di output.
ESEMPIO. Costruiamo un semplice modello.
Consideriamo una popolazione virtuale composta da infiniti animali che vivono all'infinito. Supponiamo che al tempo t0 essi siano tutti esenti dalla malattia M. Al tempo t1 aggiungiamo alla popolazione un numero D1 di individui con una malattia contagiosa M che si trasmette da 1 animale ammalato a 1 animale sano in 1 unità di tempo.
Assumiamo D1=10; allora, al tempo t2 gli animali ammalati saranno 20, a t3 saranno 40, a t4 saranno 80 e così via.
Il numero di animali ammalati viene riprodotto dalla seguente equazione:
Per mezzo del modello possiamo prevedere la diffusione nel tempo della malattia all'interno della popolazione:
Ora perfezioniamo il modello, supponendo che la malattia sia capace di provocare la morte del 30% degli animali colpiti entro 1 unità di tempo dopo l'infezione. Allora si verificherà la seguente situazione:
Adesso il numero di animali ammalati presenti in un dato istante tn all'interno della nostra popolazione-modello può venire calcolato come:
In epidemiologia i modelli sono costruiti per scopi diversi: ad esempio, prevedere l'andamento di una malattia in determinate condizioni oppure prevedere l'effetto sulla prevalenza o sull'incidenza qualora vengano adottare determinate misure di controllo. Un buon modello permette di simulare "a tavolino" (o meglio: davanti al display di un computer) ciò che avverrà in natura (o nell'allevamento) e quindi può rappresentare un utilissimo strumento nello studio delle malattie.
In tempi recenti, modelli matematici sono stati utilizzati frequentemente per analizzare i rapporti costi/benefici di azioni di profilassi di molte malattie degli animali.
Il rapporto costi/benefici deve essere sempre tenuto presente quando si effettuano azioni di profilassi, controllo, eradicazione ecc. a tutti i livelli (dal singolo allevamento fino alle grandi profilassi su scala nazionale).
Un intervento sanitario su popolazioni può essere
· efficace oppure
· efficiente
Attenzione a non confondere questi due attributi, che non sono sinonimi. Infatti, dato un certo intervento sanitario con un dato obiettivo, si dice che l'intervento è "efficace" quando esso "funziona", cioè consente di raggiungere il risultato voluto. Un intervento "efficiente" è invece qualcosa di più: esso consente di raggiungere il risultato voluto, ma utilizzando un dispendio minimo di risorse.
Una azione sanitaria è efficiente (e quindi "buona" sotto tutti gli aspetti), quando la somma dei costi delle risorse impiegate (personale, laboratori, attrezzature, vaccini, farmaci, indennizzi agli allevatori, restrizioni nel commercio ecc. ecc.) è inferiore alla somma dei benefici ottenuti (abbassamento della mortalità, aumento della produttività, tutela della salute dell'uomo ecc. ecc.). Insomma, efficienza significa ...massima resa, minimo sforzo!
Naturalmente, il rapporto costi/benefici dovrà sempre essere inferiore a 1; ciò è particolarmente vero per i grandi piani su scala nazionale (es. brucellosi, tubercolosi ecc.) che assorbono risorse ingenti e quindi comportano costi ingenti a carico della collettività.
ESEMPIO. Supponi che un ipotetico piano di lotta contro la poliomielite dell'uomo (malattia che colpisce soltanto durante l'infanzia) preveda la vaccinazione di tutta la popolazione (adulti e bambini). Poiché sono disponibili vaccini che inducono una protezione eccellente, il piano sará senz'altro efficace, in quanto la frequenza della malattia verrà notevolmente ridotta dall'intervento immunizzante. Tuttavia, il piano avrebbe potuto essere anche efficiente se fossero stati vaccinati soltanto i soggetti a rischio, ossia i bambini, evitando l'inutile e costosa immunizzazione degli adulti.
Dopo questa breve parentesi sui costi/benefici, torniamo ai nostri modelli.
Un modello è tanto migliore quanto meglio "mima" quanto succede (e prevede quanto succederà...) nella realtà. Per valutare a priori (e sempre con grande approssimazione!) la bontà di un modello, si possono considerare i seguenti interrogativi:
storia naturale della malattia?Si comprende facilmente che la costruzione di un buon modello è un procedimento difficile; basta pensare a quanto già detto sulla varietà dei determinanti, sulla problematicità della loro quantificazione e sulla complessità delle interazioni tra i determinanti e l'ospite.
L'utilità pratica di un modello epidemiologico non è assoluta; ad esempio, si ritiene che, almeno per ora, non si possano pianificare le strategie di controllo di una malattia sulla base soltanto delle previsioni fornite dai modelli. Tuttavia, essi possono essere molto preziosi se usati in aggiunta ai metodi epidemiologici più tradizionali (v. epidemiologia descrittiva e epidemiologia analitica).
I modelli matematici possono essere classificati in diversi modi. Una classificazione prevede la suddivisione dei modelli in descrittivi o prescrittivi.
I modelli descrittivi sono quelli che forniscono una descrizione (o anche una previsione) del funzionamento attuale (o futuro) di un fenomeno.
I modelli prescrittivi offrono informazioni utili per prendere decisioni al fine di influenzare l'andamento di un fenomeno.
Dunque, un modello descrittivo descrive i meccanismi che sottostanno a un fenomeno, mentre un modello prescrittivo aiuta ad assumere una decisione (il minor costo, i migliori benefici ecc.). È logico supporre che nello studio di un fenomeno (es. una malattia) vengano dapprima messi a punto modelli di tipo descrittivo e soltanto in un secondo tempo modelli di tipo prescrittivo.
Un altro tipo di classificazione, più interessante e attuale, riguarda la capacità dei modelli di tener conto dell'effetto del caso e della variabilità dei dati di input. Su questa base i modelli possono essere classificati come "deterministici" o "stocastici". Questo argomento viene trattato nella prossima unità.
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NELLA PROSSIMA UNITÀ:
si propone una differenziazione tra modelli deterministici e modelli stocastici con l'ausilio di un semplice esempio di fantasia che fa risaltare la superiorità di questi ultimi rispetto ai primi.
